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By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach paintings der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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8. Man zeige, daß mit {an } auch die Folge {cn } der Mittelwerte cn := (1/n)·(a1 +a2 +· · ·+an ) eine Nullfolge ist. 2 9. Warum ist die Folge der Zahlen n+3 (1 + 2 + · · · + n + 1) − n (mit n ∈ N) eine Nullfolge? 10. Mit Hilfe des Halbierungsverfahrens“ von Bemerkung 1 beweise man die Existenz der k-ten ” Wurzel von c, wobei k ∈ N und c ≥ 0. 11. Eine Folge {bn } heißt Umordnung der Zahlenfolge {an }, wenn bn = aσ(n) gilt f¨ ur eine Abbildung σ, die jedem n ∈ N eine nat¨ urliche Zahl σ(n) zuordnet derart, daß σ(n) = σ(m) f¨ ur n = m gilt und daß jedes k ∈ N als Bild σ(n) eines n ∈ N erscheint.

F¨ ur a, b, c ∈ R beweise man: |a + b| + |a + c| + |b + c| ≤ |a| + |b| + |c| + |a + b + c| . 5. Man beschreibe die Menge der Zahlen x ∈ R mit: (i) |x−1|+|x+1| < 4, (ii) |x−1||x+1| < 4, (iii) |x + x−1 | ≥ 6, (iv) x ≤ |1 − x|, (v) x2 − 3x + 2 < 0. 6. Eine Linearkombination {λan + µbn } zweier Nullfolgen {an }, {bn } ist eine Nullfolge. Beweis? √ √ √ 7. }, {n2−n }, { n + 1 − n}, {n1/n − 1} Nullfolgen sind. 8. Man zeige, daß mit {an } auch die Folge {cn } der Mittelwerte cn := (1/n)·(a1 +a2 +· · ·+an ) eine Nullfolge ist.

Aus (14) liest man ab: Ist D > 0, so besitzt (13) die zwei verschiedenen reellen Wurzeln x1 = √ 1 (−b + D) , 2a x2 = √ 1 (−b − D) . 2a b . F¨ ur D = 0 hat (13) die reelle Doppelwurzel x1 = x2 = − 2a Ist D < 0, so besitzt (13) u ¨berhaupt keine reelle Wurzel, sondern zwei komplexe Wurzeln x1 = √ √ 1 1 (−b + i −D) , x2 = (−b − i −D) . 2a 2a Die Funktion y = p(x), x ∈ R, mit p(x) := ax2 + bx + c beschreibt in der x, y-Ebene eine Parabel, die sich f¨ ur a > 0 nach oben ¨ offnet. F¨ ur D = 0 bzw. D > 0 schneidet diese Parabel die x-Achse in einem bzw.

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